если я переношу значок из настроек то у меня через неё открывается боковая панель с закладками, меня это не устраивает абсолютно, я хочу чтоб весь процесс работы проходил как слева.

Та, которая с дропмаркером, не отображается при включенной панели меню (даже если её вытащили на панель).

Пропажа этой кнопки решается достаточно легко:

#bookmarks-menu-button-container, #bookmarks-menu-button {
  display: block !important;
}

Правда, есть еще один нюанс: если включено отображение панели закладок, то эта кнопка всегда будет отображаться именно на этой панели; если кнопка при настройке была помещена на панель, которая не панель закладок, то кнопка с меню закладок будет в крайней правой позиции панели закладок. Впрочем, её можно пристроить перед элементами панели закладок - тогда она будет слева.
Еще как вариант - кастомная кнопка, которая будет клонировать меню #BMB_bookmarksPopup, и присоединять к себе клон как дочернюю ноду - тогда кнопка должна работать как исходная кнопка с меню закладок. Но тут нужно обращать в соответствующую тему, и пробовать.