А запустить вторую копию FF под другим профилем чем не нравится?

Только если самому расширение написать. Такое просто никому не нужно и делать это разработчики не станут.

be@ver
Если одну и ту же страницу надо открывать и с адоном, и без - тогда надо как-то иначе их разделять.
То есть надо как-то выделить конкретный таб.
Например можно задать свой хоткей и по нему запоминать текущий таб.
Ну или в контекстное меню/в закладку таба добавить.
Ещё можно считать, сколько раз был открыт урл, и на второй раз помечать вкладку для работы расширения.

Ссылку на нужную вкладку можно присвоить переменной расширения и далее использовать.
По идее пока не закроется, должна соответствовать.
А  можно попробовать использовать тот факт, что даже существующим объектам можно добавлять новые свойства, и добавить такое к нужной вкладке.