К сожалению, это почему-то не срабатывает.

Я бы ещё проверил бы — целы ли закладки вообще.
Файл может и быть, и даже приличного размера (а чего бы и нет, даже пустая база место занимает).
Но файлы могут быть побитые.

Установите портативку. Киньте в её профиль places.sqlite и favicons.sqlite. Запустите портативку, гляньте  — работает али нет.
Если работает — то что с вашим браузером не так. Выяснять надо или профиль новый делать.
Если не работает — возможно файл испорчен. Тогда импортировать в портативку как dreamkz советовал и поглядеть что будет.
Заработает — экспорт — и в старый профиль.
Не заработает — пичалька и не очень понятно в чём дело.

Зачем Edge? А просто экспорт/импорт в/из html нельзя?