ну создать нужно ящик pop3, и поставить параметр оставлять письма на сервере. это первое что приходит в голову.

Ну и чего ты умничаешь. В любом почтовике можно настроить параметр того когда письмо считать прочитанным это вопервых.
во вторых изначально когда письмо приходит с сервака у него уже стоит статус непрочитанное - выделенное жирным шрифтом.
идём по пунктам и теперь я поумничаю: "Возможно ли скачать непрочитанные письма с сервера," - именно так и делается с сервака к тебе прилетают непрочитанные письма(ваш кэп)
"отключиться от интернета и потом в автономном режиме открывать письма и читать" -конечно же возможно опять таки кэп кричит что уже скачав эти письма можешь делать с ними что хочешь.
"чтобы при прочтении и удалении на компе письма (в почтовике), на сервере это письмо не только не удалялось, но и не помечалось, как прочитанное?"  Пишу ещё раз что если поставишь галочку в настройках сервака оставлять письма на сервере он выкачает эти письма тебе на комп, на серваке они останутся как непрочитанные. Поэтому советую ещё раз проверить в чём ты протупил скорее всего у тебя настроен IMAP а не POP3.