Он загружен, в этом и смысл функции быстрой загрузки.
Вопрос в том находится ли мэйлер в рабочем состоянии или присутствует
в памяти только частями.

Очевидно для того, чтобы иметь работающий мейлер, который сворачивается в трей. Если функция быстрой загрузки освобождает только граф. ресурсы, логично предположить, что движок мейлера продолжает работать. Тогда minimizetotray не нужен.

При включенном "быстром запуске" почтовик не проверяет почту.

Там по сути не важно, почтовик или браузер, т.к. все это один процесс - seamonkey.exe

Seamonkey будет продолжать получать почту, если хоть раз был запущен почтовик, и в то же время процесс seamonkey.exe не завершен (т.е. даже когда запущен только браузер). Но это не очень удобно, т.к. в случае завершения процесса seamonkey.exe нужно снова загружать почтовик. Наверное, удобнее использовать minimizetotray.

Хотя мне лично все равно - я браузер почти никогда не закрываю, и почта продолжает приходить. В правом нижнем углу всплывает уведомление.