А можно ли сделать так, чтобы при получении нового сообщения кроме звукового сигнала и появления в трее значка этот самый значок еще и моргал, пока сообщение не прочитано?

Чтобы иконка в трее мограла - я не видел, а окно чтобы окно попапа моргало вот Blinking alert. Там можно настроить, чтобы это окно само вообще не закрывалось и висело пока его руками не закроют.

Кто пропадает быстро? Само окно или мигание? Так и то и другое в настройках настраивается... Писал же:

Спасибо большое, мне тоже очень помогли этим.

angelina.tv, Настройки\Дополнительные\Основные\Редактор настроек
Если будет предупреждение что-то типа "вы уверены что хотите править настройки? Это опасно!" - согласиться и быть осторожной
В строке "Поиск:" ввести use_condstore и в найденной строке установить значение в false

У меня та же проблема. И то же дополнение стоит. Но в настройках уже по умолчанию стоит false. Как в такой ситуации быть?
Кстати, уведомления неприходят не всегда. Т.е. в основном Thunderbird молчит, но иногда бывает он всё же выдаёт уведомления. Но всегда если перейти к его окну, то там уже загружены все новые сообщения.

Решил проблему. Заключалась она в том, что у меня письма сортируются по папкам (это делает сервер яндекса по настроенным мною фильтрам). Так вот когда письма приходят просто в папку Входящие, то в трее сразу всплывают уведомления. А вот если письмо пришло в одну из папок, то уведомления не всплывают, хотя письмо уже загружено в папку Thunderbird и его можно прочитать.
Решение простое - надо на каждую папку в почтовом ящике нажать правой кнопкой и зайти в Свойства. Там надо поставить галочку "При получении новых сообщений для этой учётной записи всегда проверять эту папку"