Скорее всего это тот файл, но письма в нём помечены как удалённые. Восстановить их можно либо с помощью расширения Recover deleted messages, либо подключив это файл как локальную папку и выполнив на ней операцию "Починить папку". (Можно запустить эту операцию и на Входящих, но нужно сначала перевести программу в автономный режим, а после её завершения перетащить восстановленные письма в какую-то другую папку и только потом выйти из автономного режима. Но всё это удвоит занимаемое на сервере место, а его там мало, поэтому лучше через Локальные папки.)

В свойствах почтового ящика в разделе "Параметры сервера" в самом низу задаётся каталог, в котором хранятся файлы этого ящика.

Если на обеих машинах Thunderbird, то достаточно со своей перенести туда файл Inbox.msf. Естественно, при незапущенном Thunderbird.

Создать у себя в Локальных папках папку с каким-то характерным именем латиницей. Потом закрыть Thunderbird, удалить создавшийся файл .msf, а вместо файла без расширения подсунуть свой.

Да.

Если имеется в виду не сервер локалки, а IMAP-сервер, то никак, ибо это противоречит всей идеологии IMAP. Тут либо на протокол POP3 переходить, либо перемещать приходящие письма к себе в Локальные папки. Можно даже автоматически - фильтром.
Только для отправляемых писем лёгкий выход есть (поскольку они не через IMAP уходят): в настройках почтового ящика указывается, сохранять ли их, и если сохранять, то куда.

Отредактировано yup (26-06-2017 18:51:19)

Да.

Не только. Настройки папки, заголовки писем и их атрибуты (место расположения в файле с письмами, флаги, метки, состояние "прочитано - не прочитано", "спам - не спам" и ещё много чего).