Имеется: Thunderbird 115.12.2, MacOS 10.14.6.

В Dock'е на иконке при приходе новых сообщений появляется цифра, соответствующая числу непрочитанных сообщений (или новых, в зависимости от настройки).
Но если сообщение приходит, когда Thunderbird не загружен или вообще выключен комп, то после загрузки почтовика иконка "чистая", без цифры, как будто ничего нового/непрочитанного нет. Поэтому каждый раз приходится сначала открывать интерфейс Thunderbird'а, чтобы узнать, приходили ли за прошедшее время новые письма.

Как побороть? Может, есть какие-нибудь дополнения?

Похоже, я забыл сказать про самое главное: запускается из шелловского скрипта:

open -j -g ~/Applications/Thunderbird.app

Ключик "-j" говорит, чтобы программа запускалась свёрнутой в док. Это работает не для всех программ, но для Thunderbird'а работает. После этого в доке появляется иконка свёрнутого Thunderbird'а. Но на ней нет цифры пришедших ранее сообщений. Если потом приходят новые, цифра появляется.
Пока убрал этот ключ, чтобы приложение запускалось в окне, а потом его уже сворачиваю в док вручную. Но хочется красивого - раз уж приложение умеет запускаться свёрнутым, то почему оно не показывает число пришедших ранее писем?