Всякий раз при запуске браузера мне приходится выбирать аккаунт для входа или авторизоваться. В безопасном браузере этой проблемы нет. Все расширения проверены, они не создают проблему. Кто виноват и что делать?

Может быть включено удаление данных при закрытии ?
Настройки → Приватность и защита → Куки и данные сайтов → Удалять куки и данные сайтов при закрытии Firefox
или
browser.privatebrowsing.autostart = true?

Нет. Галочка в этом пункте отсутствует.

А здесь:

Такой опции у меня вообще нет.

Случаем не установлен Cookie AutoDelete?

Нет, я ничего не устанавливала.
Просто однажды исчезла Домашняя страница Яндекса, я её вернула каким-то образом и после этого началась эта проблема.

tarhun
Так всё-таки где надо авторизоваться — в Яндексе?

Вообще-то она есть у всех, если в меню «Настройки — Приватность и защита» выбрано «Firefox будет использовать ваши настройки хранения истории».
Если у вас выбрано «Firefox не будет запоминать историю», то всё правильно, вместе с историей удаляются и cookies, в которых хранится состояние входа на сайт.

Простой способ устранения разных проблем: создание нового профиля Firefox, перенос на него своих закладок и паролей, и использование этого нового профиля.
При создании нового профиля вместо старого нужно перенести в новый закладки и пароли (остальное лучше настроить вручную, а не копировать, что не скопировать проблемные файлы). Чтобы не копировать собственно файлы из профиля, закладки можно перенести через Управление закладками — Экспорт в HTML,  а пароли с помощью расширения LastPass Password Manager.

16-11-2021 20:18:33

Правильная настройка домашней страницы — это не «каким-то образом», а в самых обыкновенных настройках Firefox:
Настройки — Начало — Домашняя страница и новые окна — выбрать «Мой URL…» и вставить https://yandex.ru/

У тебя установлен тот самый Firefox или жалкая подделка от яндекса?
Что написано в about:support в этих полях?