При запуске программы выскакивает сообщение "Не удалось открыть индексный файл для «INBOX». Возможно, произошла ошибка на диске или полный путь превышает допустимую длину.". При этом вложенные папки Входящих в названиях отображаются набором букв и цифр, а в открытой вкладке значится "Дом".
Решение проблемы описанное тут http://forum.mozilla-russia.org/viewtopic.php?id=68595 не решило проблемы.
Что делать?

POP или SMTP?
Где у вас почта хранится знаете? - найдите и сделайте копию для начала.
(у меня путь всегда отдельно от профиля)
Далее попробуйте проверить не слетели ли права и есть ли доступ к ним у пользователя.
Если POP то посмотрите не превышает ли 4 ГБ место.
Попробуйте открыть папку профиля и удалите файл "global-messages-db.sqlite" - потом запустите TB и пусть произведёт индексацию.

Как вариант ещё не забывайте время от времени "Сжимать" папки чтоб удалялись старые записи.

Три ящика. Все SMTP

У администратора могут права слететь? Пользуюсь компом под админскими правами.

Имеется ввиду, что он сам должен проиндексировать? Если да, то не помогло.

Да сжимаю, каждый раз, как сообщение об этом выскакивает. Дня три, как сжимал.

Вот так сейчас папки вложенные во входящие выглядят: https://cloud.mail.ru/public/KTE2/Kicy6ngB4

Ой)) я имел ввиду IMAP - но вы поняли.