Добрый вечер. Возможно ли сделать так, что бы при полном удалении письма на сервере(перемещения из "входящие/отправленные" в "удаленные", и затем удаление из папки "удаленные") это письмо не удалялось в клиенте? Соединение установлено по imap.

Нет, так нельзя, это полностью противоречит самой идеологии IMAP, которая весьма напоминает HTTP - клиент не хранит письма, а только показывает то, что лежит на сервере (максимум, кэшируя их у себя для скорости).
Временно можно избежать удаления кэшированных писем, переведя программу в автономный режим (или ещё каким-нибудь образом лишив её доступа к серверу), но при этом, естественно, новая почта приниматься не будет.
Ещё можно копировать письма в локальные папки. И на этом перечень возможностей в рамках IMAP заканчивается.

Если по imap то нет, это противоречит самому принципу, они должны синхронно работать.

Если вам надо чтоб письма оставались у клиента, то самое простое - это настройте у клиента КОПИЮ,
куда будут важные письма копироваться и которые он сам удалять будет.
Очень легко у клиента настроить и копирование в его локальные каталог, где уже точно только он будет удалять.

Дополнительно рекомендую дополнение "Awesome Auto Archive"
Там есть немного странного в настройке, в чём пока не разобрался https://forum.mozilla-russia.org/viewtopic.php?id=71836
но в целом если указывать одни и те же значения, то отлично работает.
Я его использую как АРХИВАЦИЮ, но там есть и копии и удаление.

Спасибо всем.