У меня в аккаунте gmail создана папка (или как она у них называется - ярлык).
Создан фильтр (точнее два, не знаю, как одним обойтись), который все письма с определёнными людьми (from/to, т.е и входящие и отправленные) кладёт в эту папку. При этом у меня не стоит галочка, что пропускать папку входящие и сразу архивировать.
В итоге я вижу письма и во Входящие/Исходящие и в заданной папке.
У меня стоит для всех папок, кроме Корзина/Вся почта во вкладке "Синхронизация" - "Выбрать эту папку для автономной работы". В "Подписаться..." стоит галочка напротив этой папки.

Проблема в следующем - когда приходит новое письмо от людей, я вижу во входящих -  (1), происходит уведомление (mailbox alert), но напротив папки - не меняется счётчик и для него уведомление не срабатывает.
Только если я тыкну на этой папке, тогда да, через мгновение появляется непрочитанное в папке и счётчик обновляется (хотя уведомление всё равно не происходит).

Настроено вроде всё верно.
Но почему?

Сейчас уже работает. Странно.

Нет, я просто ошибся - у меня одинаковое уведомление приходит на планшет и десктоп (звук), а планшет рядом лежал. Реально это у него проиграло.

Видимо, баг  mail alert-а.
Автор правда не отвечает на переписку.
Ну ничего не поделать.
В любом случае стоит уведомление на планшете и телефоне данной папки (gmail), не пропущю.