При его установке в верхнем баре отображается конверт, но этот конверт сигнализирует о сообщениях когда запущен сам Thunderbird. Так же этот Thunderbird дублируется в "даше" и тоже оповещает о поступивших сообщениях.
Как сделать так: когда Thunderbird запущен, он не отображается в "даше" и информационные сообщения выдавал только конверт с верху. Собственно и автозагрузку самого Thunderbird 
А то получается, там мигает, слева пикает - не очень эстетично, как по мне.
В Ubuntu 13.04 - как таковой "трей" - убрали.
PS: если разрабы сделают такую реализацию в дальнейших версиях, думаю поклонников Thunderbird станет еще более так же это касается и Win версий. Но на данный момент интересует для Ubuntu