Давно пользуюсь Thunderbird. На другом компе установил Outlook с той же учетной записью. Теперь В Thunderbird нет старых входящих писем. Новые приходят и остаются, но стоит запустить  Outlook на другом компе, как в Thunderbird входящие исчезают. Исходящие на месте. В Outlook все входящие есть.  Почему так и что делать?

потому что аутлук забирает письма с сервера.
настройте в оутлуке учётку по IMAP а не по РОР3
а лучше поствьте и на ту машину