Ситуация: имеется локальная сеть, один компьютер подключен к интернету и на нем Thunderbird регулярно забирает почту с разных серверов.
Требуется на другом компьютере в этой же сетке поставить thunderbird и как-то синхронизировать почту.
Возможно такое?

Ага, возможно, указав на удаленном компьютере папкой с почтой соответвенно сетевую папку на компе, что почту забирает.
Ну и настроить кучу аккаунтов на головном.
Смотри физическое месторасположение папок с почтой в профиле.
А еще лучше будет поставить одну из десятков утилит синхронизайий сетевых и локальных папок, чтобы всю почту по локалке не тягать