Да, на самом деле, разобрался уже, просто все отписаться было некогда...
Действительно, ситуация в том, что Яндекс изначально не дает создавать вложенные папки в папке "Входящие", т.е. он в интерфейсе их отображает, но при создании даже через веб-интерфейс создает именно новые папки, на одном уровне со входящими... В этом и проблема. Причем проявляется это все только, если в веб-интерфейсе уже созданы "подпапки" для входящих, если в ящике их нет - то будет одна папка "Входящие" в программе.
В итоге просто перенес в TB все необходимые папочки на один уровень со входящими и вручную рассортировал расположение, чтобы так называемые "Вложенные" входящих были под входящими... Конечно, не лучший вариант, но не сильно напрягает.
Другой вопрос -

Нету, к сожалению... Есть "Каталог Imap-сервера", но это не совсем то, как я понимаю (хотя пробовал туда что-нибудь писать - в результате вообще ящик перестает работать)

Настроил IMAP (учетка на Яндексе), создаю вложенную папку на сервере, в результате получаю в Thunderbird еще одну папку "Входящие" с созданными мной вложенными папками. Т.е. имеем 2 папки "Входящие" - в первую доставляется сама почта из "Входящие" на сервере, во второй - вложенные папки и почта в них.
При попытке создать вложенную во входящих на стороне клиента - создается либо в корне, либо в этой новой "входящие", перетаскивание также недоступно.
Что делаю не так, как объединить обе папки?
(В TheBat при настройке IMAP есть возможность для ВСЕХ папок указать вручную соответствующие им папки на сервере, если программа автоматически определила неверно, в TB вижу такое для папок "Отправленные, Спам и "Шаблоны", для входящих никаких настроек)