Спасибо за наводку. Кнопка работает нормально. Но в этом варианте выполняется экспорт закладок в html, соответственно и импортировать приходится из html, а при этом лис у меня начинает вести себя непредсказуемо (закладок у меня много, может причина в этом). Меня интересует именно резервное копирование в json. Возможно по аналогии с указаннной Вами кнопкой можно сделать то, что мне нужно. Но, увы, я это вряд ли смогу.

P.S. Проверил еще раз. Кнопка действительно работает нормально. Вот только лис не восстанавливает закладки из html файла. Версия 13.0.1. Может это только у меня, но это есть факт.

В идеале, эта кнопка мне видится так:
ЛКМ - резервное копирование закладок в указанную папку в формате JSON;
ПКМ - восстановление закладок из резервной копии, находящейся в указанной папке.