Все работает!
(с толку сбивало то, что Thunderbird писал про регистрацию  пользователя user@firma1.ru@192.168.0.1 на сервере и похожие темы на форуме)
Но все-таки это не очень правильно то, что он пользователю дописывает автоматом еще собаку с доменом.

Вот пожалуйста:
1.
имя учетной записи user@domain1.ru
адрес электронной почты user@domain1.ru
сервер исходящей почты - domain1

параметры сервера  IMAP :
имя сервера 192.168.0.1
имя пользователя user@domain1.ru

сервер исходящей почты
описание domain1
имя сервера 192.168.0.1
имя пользователя user@domain1.ru

2.
имя учетной записи user@domain2.ru
адрес электронной почты user@domain2.ru
сервер исходящей почты - domain2

параметры сервера  IMAP :
имя сервера 192.168.0.1
имя пользователя user@domain2.ru

сервер исходящей почты
описание domain2
имя сервера 192.168.0.1
имя пользователя user@domain2.ru

На сервере 192.168.0.1 два почтовых домена domain1 и domain2.
На каждом из почтовых доменов имеется ящик для пользователя user:
user@domain1.ru и user@domain2.ru.
Соответственно в имени пользователя в настройках ящика пишем тоже user@domain1.ru и user@domain2.ru.
После создания ящика, Thunderbird соединяется с сервером и пишет:
-------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------
Почтовому серверу требуется пароль, введите пароль для user@domain1.ru@192.168.0.1
---------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------
На оутлуке и бате таких проблем не возникало.