У меня такая проблема возникла при установленном дополнении MinimizeToTrey, когда я по незнанию встал на паку "Входящие" нажал правой клавишей мыши и "открыть в новом окне".
В результате у меня открыли сразу 2 окна программы.
При выходе из одной закрывались оба.
При перезапуске тоже открывались сразу два окна.
При сворачивании - появлялись 2 ярлыка в системном трее.

Вышел из ситуации таким образом:

В дополнениях отключил MinimizeToTrey.
Перезапустил Thunderbird.
Закрыл одно из окон.
Заново запустил дополнение MinimizeToTrey.
Перезапустил Thunderbird.

Проблема исчезла.