Доброго времени суток!
Столкнулся с такой же ситуацией...
Обновили комп, прочитал в нете верный способ переноса профиля, который как я думал сработал. Перенос без первого запуска после установки FireFox как раз всего каталога: C:\Users \<ИМЯ_ ВАШЕГО ПОЛЬЗОВАТЕЛЯ>\AppData\Roaming\Mozilla\.
И ведь в нём как раз эта папка Background Tasks Profiles есть!
Т.е. получается после запуска кто-то её стёр!

Сейчас сделал как описано выше:
- Скопировал папку заново из архива.
- Проверил строку в C:\Users \<ИМЯ_ ВАШЕГО ПОЛЬЗОВАТЕЛЯ>\AppData\Roaming\Mozilla\Firefox\profiles.ini.
Всё сходится!

Запустил FireFox.
Вроде ничего не удалилось.
Странно.

Ошибка пока не появлялась... Позже напишу о результате...