В том то и дело, их нигде нет, ни в корзине, ни в спаме, ни на сервере.

Первым делом я так и подумала, написала в тех. поддержку сервера, чтобы они проверили куда делись письма. Они ответили что с их стороны никаких удалений не происходило.
В настройках и сервера и программы установлено НЕ удалять сообщения старше определенного периода. 
Уже не знаю куда копать.
Читала, что такое может происходить из-за большого размера файла Inbox, но это касалаось настоек по pop3. А здесь Imap :/