Есть расширения, позволяющие сохранять видео, когда оно загружается в кэш Firefox в виде одного файла. Это самый простой путь, но, например, на YouTube это не поможет — там фильм загружается в виде многих небольших файлов, которые незаметно для пользователя воспроизводятся в браузере по очереди.
Есть простые способы, которые позволяют скачивать видео в разрешении до 720p (по вертикали) с помощью онлайн-сервиса SaveFrom.net с помощью расширения, с помощью скрипта в закладках или без них.
Есть способ чуть сложнее — с помощью программы, которая либо работает вместе с расширением Firefox, либо отдельно. Такая программа автоматически собирает фильм из загруженных отрывков в один файл. Этим способом можно сохранять видео в высоком разрешении, которое годится для полноэкранного просмотра — 1080p, 4K и тому подобное.
В этом руководстве используются советы от Sergeys, _zt, xrun1, D.S.Denton, Крошка Ру.

Расширения, позволяющие сохранять видео, когда оно загружается одним файлом.

• Bulk Media Downloader
  
• Easy Video Downloader (Flash and Video)
  
• Download Video and Flash - HD Download

Из них мне больше всего понравилось «Download Video and Flash - HD Download». Пользоваться им очень просто: вначали открыли страницу с видео, потом на панели браузера нажали кнопку в виде вертикального троеточия — ⋮
Вначале может появиться надпись «Хмм... На этой странице не найдено видео или Flash-файлов...», но потом появляется список видео с указанием разрешения и размера файла — это может быть один и тот же видеоролик в разном качестве. Остаётся его выбрать, и начнётся скачивание. Но на момент последнего редактирования этого сообщения Download Video and Flash - HD Download, Easy Video Downloader (Flash and Video) и Bulk Media Downloader не позволяют скачать длинное видео с YouTube — можно скачать разрозненные обрывки, но не целый фильм.

SaveFrom.net — онлайн-сервис для сохранения видео на ПК
Позволяет сохранять видео любой длины со многих сайтов, включая YouTube:

3 способ. Использовать закладку со скриптом. Это работает практически во всех браузерах. Создайте новую закладку (для этого щёлкните правой кнопкой мыши в меню закладок или на панели закладок и выберите "Новая закладка"). В поле "Имя" введите «Скачать видео», а в поле «Адрес» скопируйте следующий код:

javascript:void(function openInNewTab(){var sURL='https://savefrom.net/'+encodeURIComponent(location.href);var win=window.open(sURL,'_blank');}())

Когда надо скачать видео, переходим на страницу с этим видео и нажимаем закладку «Скачать видео». Откроется страница на сайте SaveFrom.net, остаётся немного подождать и нажать кнопку «Скачать» — теперь уже на сайте, а не в закладках. Рядом с этой кнопкой есть кнопка в виде стрелки, где можно выбрать качество, но обратите внимание, что некоторые варианты будут без звука (значок динамика с крестиком).
Если при нажатии кнопки «Скачать» на сайте savefrom.net вместо скачивания происходит открытие видео в Firefox, то вместо нажатия кнопки «Скачать» левой кнопкой мыши - щелкните на ней правой кнопкой мыши и выберите «Сохранить объект как…».
4 способ — нежелательный. Пользоваться расширением «SaveFrom.net помощник». ВНИМАНИЕ! Яндекс отключил расширение SaveFrom.net в Яндекс.Браузере за накрутку популярности видео в онлайн-кинотеатрах путём скрытой загрузки видео и его воспроизведения на компьютерах пользователей!!! Хотя «SaveFrom.net помощник» для Firefox и «SaveFrom Helper» для Chrome не заблокированы и работают, но не относятся к «рекомендуемым» или «проверенным» расширениям (то есть не проверены Mozilla или Google). То есть вы можете использовать это расширение на свой страх и риск, но я удалил его со своего ПК и вам тоже рекомендую его удалить (если есть) и больше не ставить! Для сохранения видео с Savefrom достаточно способов, описанных выше!

Как скачать видео с YouTube в высоком разрешении (HD, FullHD, 4K)
Как было упомянуто выше, это так или иначе требует отдельной программы.
Общий совет для любой программы для скачивания видео: в настройках программы установите максимально частую проверку обновлений — если в настройках есть возможность проверять наличие обновлений при каждом запуске или каждый день — используйте эту настройку! YouTube и многие другие сайты борются со скачиванием видео, стремясь к тому, чтобы пользователи для каждого просмотра заходили на сайт, потому программы часто обновляют, приспосабливая их к изменениям на сайтах. Если программа не будет вовремя обновляться, то она не сможет скачивать видео, или сможет только в низком разрешении.

Media Downloader от автора mhogomchungu — программа имеет «базовый загрузчик» (для загрузки по одному фильму), пакетный загрузчик (для загрузки списка фильмов) и загрузчик плейлистов. Программа является графической пользовательской оболочкой к утилите yt-dlp (используется по умолчанию) и к нескольким другим подобным утилитам (на выбор пользователя). Список сайтов, с которых поддерживается загрузка видео, у каждой утилиты (плагина) свой, например, у yt-dlp он очень внушительный (см. по ссылке). Программа доступна для Windows и для Linux.
Если сразу не включился русский язык, его можно включить в меню Configure — General Options — Select Language.
Если программа не работает, то сперва идём в Настройки — Общие параметры — Обновить плагин — и обновляем его. Если это не помогло, то пробуем использовать другой плагин. Можно также обновить саму программу media-downloader.
Из интересных пользовательских отмечу «коэффициент масштабирования» — изменяет размер окна программы и, главное, размер шрифта в ней — вроде бы не важная настройка, но сейчас редко встречаю программы, позволяющие настраивать масштаб шрифтов их интерфейса независимо от настроек операционной системы. Указание «требуется перезагрузка» относится не к перезагрузке ОС, а просто к перезапуску программы для применения настройки.
Достоинства Media Downloader автора mhogomchungu — полная бесплатность (отсутствие платной версии), то есть все функции программы доступны без регистрации и без оплаты; загрузка видео с огромного числа поддерживаемых сайтов и большая гибкость настроек для опытных пользователей; но при этом программа имеет сравнительно большой размер (в МБ), а если не углубляться в консольные параметры плагинов, то простых и понятных настроек не так уж много (в сравнении с 3D Youtube Downloader - Batch).

3D Youtube Downloader — бесплатная и очень понятная (русский язык есть, прямо в окне программы даются подсказки), имеет сравнительно небольшой размер, не содержит рекламы. Несмотря на название, может скачивать не только с YouTube — поддерживается загрузка с Vimeo, Liveleak, Dailymotion, VK, Facebook и других сайтов. Есть стандартный и расширенный режим — расширенный позволяет выбирать не только разрешение видео, но и формат. Поддерживается многопоточная загрузка (предельное число потоков настраивается). Скачивает только по одному файлу. Чтобы скачать программу, выберите 32- или 64-битную версию, в зависимости от вашей операционной системы. С помощью того же инсталлятора можно установить и портативную версию. Программа только для Windows.
С учётом того, что скачивает только по одному фильму, программа упомянута в основном для того, чтобы вы не перепутали с нею следующую программу — 3D Youtube Downloader - Batch.
3D Youtube Downloader - Batch — условно-бесплатная программа от автора 3D Youtube Downloader, которая отличается возможностью работы с несколькими файлами сразу: можно добавить ссылки сразу на несколько видео, не ожидая, когда загрузится каждое из них. Можно также добавить плейлист – эта функция называется «Добавить фид». Программа имеет такой же небольшой размер, как и обычный 3D Youtube Downloader (на момент написания этого текста установочные файлы последней версии 3D Youtube Downloader - Batch даже меньше примерно на 1МБ, чем у 3D Youtube Downloader). Чтобы скачать программу, выберите 32- или 64-битную версию, в зависимости от вашей операционной системы. С помощью того же инсталлятора можно установить и портативную версию. Программа только для Windows.
Достоинства 3D Youtube Downloader - Batch:
— имеет небольшой установочный файл и занимает мало места на диске — по обоим показателям программа более чем в два раза «легче», чем упомянутый выше media-downloader от mhogomchungu.
— имеет много понятных настроек на русском языке (меню Сервис — Настройки и меню Сервис — Настройки конвертирования).
Недостатки:
— программа условно-бесплатная: без оплаты можно загружать до 5 файлов, а чтобы загрузить ещё 5, нужно очистить список загрузок: щелчок правой кнопкой мыши на пустом месте в списке загрузок — «Удалить завершенные»;
— очень короткий список поддерживаемых сайтов (тот же, что и у 3D Youtube Downloader): Youtube, VK, Facebook, Vimeo и т.д.

4K Video Downloader — имеет статус условно-бесплатной программы. По одному фильму видео можно скачивать бесплатно, но расширенные функции (загрузка плейлистов, загрузка каналов целиком) требуют покупки программы. Если нужно качество выше 1080p, то следует выбирать формат mkv для сохранения, если меньше 1080p, то можно сохранять и в mp4. Официально поддерживает скачивание с YouTube, Facebook, Vimeo, SoundCloud, Flickr, Dailymotion, Metacafe, Twitch (записанные стримы), TikTok, Likee. Программа имеет версии для Windows, mac OS и Ubuntu. С учётом вышеперечисленных программ главным (возможно, единственным) достоинством этой программы считаю её доступность для mac OS — ведь наверное кто-то пользуется этой системой.

Ant Video Downloader — расширение на английском языке, которое работает «в паре» с программой. Установив это расширение, нажмите его кнопку (синяя стрелка вниз в белом кружочке) и скачайте и установите программу, которую оно предложит. Сама программа не появляется в меню «Пуск» или на рабочем столе, но её можно обнаружить в меню удаления программ под названием «Ant Video downloader (Native messaging host)», управляется эта программа только через расширение. Эта программа собирает в одно целое и сохраняет скачанный ролик или фильм. Ant Video Downloader не содержит никакой рекламы, но не позволяет скачивать видео с разрешением выше 1080p и имеет не совсем понятное управление — чтобы следить за загрузкой, нужно не закрывать ту вкладку, с которой сохраняете видео, иначе, чтобы увидеть процесс загрузки, нужно лезть аж в настройки расширения. Для скачивания видео надо нажать кнопку расширения, проверить настройки сохранения и нажать кнопку «Download». Если Ant Video Downloader упорно утверждает, что видео не обнаружено («Video not found»), хотя оно есть, то надо обновить страницу, а если и это не помогло, то запустить воспроизведение ролика в браузере — и Ant Video Downloader его «увидит».
Единственное достоинство Ant Video Downloader перед теми программами, которые не интегрированы с расширением — что с Ant Video Downloader не надо вручную копировать ссылку из адресной строки в отдельную программу.

Внимание! Если скачанное видео (неважно, какой программой скачанное) воспроизводится рывками, или звук явно отстаёт от видео — весьма вероятно, что у вас ПК со старой бюджетной видеокартой, которая просто не может правильно воспроизвести видео высокого разрешения (4K). В таком случае попробуйте скачать видео в меньшем разрешении — в первую очередь в разрешении вашего монитора. Например, если монитор с разрешением 1920x1080, то попробуйте разрешение 1080p.