Ребята, может я недостаточно внимательно читал темы и FAQ.
Но вопрос для меня не праздный.  Может ли Thunderbird хранить почту на моем компьютере, удаляя ее с почтового сервера? Не очень хочется оставлять ее неизвестно где, а историю переписки бывает нужно поднять и за пару лет назад.

используй POP3 вместо IMAP
только внимательно читай настройки и если не уверен в том что настройка означает - гугли.
и не забывай делать бэкапы профиля.

Спасибо!  Уже настроил POP3.

Лучше настройте архивацию и будете переносить на локальный куда надо,
POP в наше время бывает не удобно, понадобится что то - а ПК где то там...
Ну смотрите сами.

Я просто настроил архив и что надо туда переносится.

Меня тоже интересует этот вопрос.
Я хочу перейти с POP3 на IMAP,
- сохранив на домашнем компьютере 5ГБ истории переписки, папка InboxOld (импорт из другого почтового клиента)
- пусть IMAP продолжает синхронизировать то, что находится на почтовом сервере с клиентом (десяток писем за последний месяц)
- но пусть не тащит мои 5ГБ истории к себе обратно на почтовый сервер.

Что я делал:
- Попробовал перенести письма в архивные папки - но они прекрасно синхронизируются с почтовым сервером! Аплоадит как миленький. По сути архивность этих папок заключается только в автосортировке писем по годам/месяцам... Но на сервер пихает эти новые папки с годами все равно.
- Попробовал исключить папку из синхронизации - но фактически это запрет на Download с сервера на клиент, а не наоборот. Он пытается весь мой архив закачать себе...

Подскажите, можно ли в режиме IMAP исключить папку из синхронизации, чтобы клиент не закачивал мои 5ГБ взад на сервер.

Я же вам отписал - архив переместите на локальное хранилище и всё.
У меня там уже больше 20 гиг и не чего не тянется обратно.