Я хочу установить себе для электронной почты Thunderbird, но так же хочу чтобы все мои письма хранились не только у меня на компьютере, а так же на сервере. При запуске Thunderbird у меня все письма начинают переноситься в мой компьютер, а на сервере ничего не остается. Пожалуйста, подскажите, могу ли я оставить все мои письма как на сервере, так и в моем компьютере?

Можете. В меню "Инструменты" (в Windows; в Linux- "Правка") выберите пункт "Параметры учетной записи". Там, в списке групп опций учетной записи выберите пункт "Параметры сервера". Вам нужна опция  "Оставлять копии сообщений на сервере". Поставьте галочку. По умолчанию опция отключена.