А можно ли в FireFox сделать так, чтобы он запоминал все пароли автоматически и не выводил запроса на сохранение паролей для конкретного сайта?

на счет вопроса не знаю, а как менеджер паролей рекомендую AI RoboForm. он точно умеет запоминать без вопросов да доверяю хранить пароли я ему больше чем FF.

DeeZ пишет

AI RoboForm

Да, если не брать во внимание платность данного продукта! (30 дневная версия не в счет)

Программка которую рекомендуют создатели FF
https://lastpass.com/