Будет ли корректно обрабатываться XMLHttpRequest в расширении.
Я встречал информацию,  что запрос может быть отправлен только в тот домен на котором расположена страница.

А нужно с любого сайта обращаться к моему серверу.

из расширения можно отправлять куда угодно. со страницы - только на данный домен
http://developer.mozilla.org/en/docs/AJAX